$$$5 x e^{- \frac{6 x}{5}}$$$의 적분

$$$\int 5 x e^{- \frac{6 x}{5}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=5$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x e^{- \frac{6 x}{5}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{5 x e^{- \frac{6 x}{5}} d x}}} = {\color{red}{\left(5 \int{x e^{- \frac{6 x}{5}} d x}\right)}}$$

적분 $$$\int{x e^{- \frac{6 x}{5}} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- \frac{6 x}{5}} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- \frac{6 x}{5}} d x}=- \frac{5 e^{- \frac{6 x}{5}}}{6}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$5 {\color{red}{\int{x e^{- \frac{6 x}{5}} d x}}}=5 {\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{5 e^{- \frac{6 x}{5}}}{6}\right)-\int{\left(- \frac{5 e^{- \frac{6 x}{5}}}{6}\right) \cdot 1 d x}\right)}}=5 {\color{red}{\left(- \frac{5 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - \int{\left(- \frac{5 e^{- \frac{6 x}{5}}}{6}\right)d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=- \frac{5}{6}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{6 x}{5}}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - 5 {\color{red}{\int{\left(- \frac{5 e^{- \frac{6 x}{5}}}{6}\right)d x}}} = - \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - 5 {\color{red}{\left(- \frac{5 \int{e^{- \frac{6 x}{5}} d x}}{6}\right)}}$$

$$$u=- \frac{6 x}{5}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(- \frac{6 x}{5}\right)^{\prime }dx = - \frac{6 dx}{5}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = - \frac{5 du}{6}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$- \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} + \frac{25 {\color{red}{\int{e^{- \frac{6 x}{5}} d x}}}}{6} = - \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} + \frac{25 {\color{red}{\int{\left(- \frac{5 e^{u}}{6}\right)d u}}}}{6}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=- \frac{5}{6}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} + \frac{25 {\color{red}{\int{\left(- \frac{5 e^{u}}{6}\right)d u}}}}{6} = - \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} + \frac{25 {\color{red}{\left(- \frac{5 \int{e^{u} d u}}{6}\right)}}}{6}$$

지수 함수의 적분은 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$입니다:

$$- \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - \frac{125 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{36} = - \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - \frac{125 {\color{red}{e^{u}}}}{36}$$

다음 $$$u=- \frac{6 x}{5}$$$을 기억하라:

$$- \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - \frac{125 e^{{\color{red}{u}}}}{36} = - \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - \frac{125 e^{{\color{red}{\left(- \frac{6 x}{5}\right)}}}}{36}$$

따라서,

$$\int{5 x e^{- \frac{6 x}{5}} d x} = - \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - \frac{125 e^{- \frac{6 x}{5}}}{36}$$

간단히 하시오:

$$\int{5 x e^{- \frac{6 x}{5}} d x} = \frac{25 \left(- 6 x - 5\right) e^{- \frac{6 x}{5}}}{36}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{5 x e^{- \frac{6 x}{5}} d x} = \frac{25 \left(- 6 x - 5\right) e^{- \frac{6 x}{5}}}{36}+C$$

$$$\int 5 x e^{- \frac{6 x}{5}}\, dx = \frac{25 \left(- 6 x - 5\right) e^{- \frac{6 x}{5}}}{36} + C$$$A