$$$5 x e^{- \frac{6 x}{5}}$$$の積分

$$$\int 5 x e^{- \frac{6 x}{5}}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=5$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x e^{- \frac{6 x}{5}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{5 x e^{- \frac{6 x}{5}} d x}}} = {\color{red}{\left(5 \int{x e^{- \frac{6 x}{5}} d x}\right)}}$$

積分 $$$\int{x e^{- \frac{6 x}{5}} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{- \frac{6 x}{5}} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{- \frac{6 x}{5}} d x}=- \frac{5 e^{- \frac{6 x}{5}}}{6}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$5 {\color{red}{\int{x e^{- \frac{6 x}{5}} d x}}}=5 {\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{5 e^{- \frac{6 x}{5}}}{6}\right)-\int{\left(- \frac{5 e^{- \frac{6 x}{5}}}{6}\right) \cdot 1 d x}\right)}}=5 {\color{red}{\left(- \frac{5 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - \int{\left(- \frac{5 e^{- \frac{6 x}{5}}}{6}\right)d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=- \frac{5}{6}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{6 x}{5}}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - 5 {\color{red}{\int{\left(- \frac{5 e^{- \frac{6 x}{5}}}{6}\right)d x}}} = - \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - 5 {\color{red}{\left(- \frac{5 \int{e^{- \frac{6 x}{5}} d x}}{6}\right)}}$$

$$$u=- \frac{6 x}{5}$$$ とする。

すると $$$du=\left(- \frac{6 x}{5}\right)^{\prime }dx = - \frac{6 dx}{5}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - \frac{5 du}{6}$$$ となります。

積分は次のようになります

$$- \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} + \frac{25 {\color{red}{\int{e^{- \frac{6 x}{5}} d x}}}}{6} = - \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} + \frac{25 {\color{red}{\int{\left(- \frac{5 e^{u}}{6}\right)d u}}}}{6}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{5}{6}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} + \frac{25 {\color{red}{\int{\left(- \frac{5 e^{u}}{6}\right)d u}}}}{6} = - \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} + \frac{25 {\color{red}{\left(- \frac{5 \int{e^{u} d u}}{6}\right)}}}{6}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - \frac{125 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{36} = - \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - \frac{125 {\color{red}{e^{u}}}}{36}$$

次のことを思い出してください $$$u=- \frac{6 x}{5}$$$:

$$- \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - \frac{125 e^{{\color{red}{u}}}}{36} = - \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - \frac{125 e^{{\color{red}{\left(- \frac{6 x}{5}\right)}}}}{36}$$

したがって、

$$\int{5 x e^{- \frac{6 x}{5}} d x} = - \frac{25 x e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} - \frac{125 e^{- \frac{6 x}{5}}}{36}$$

簡単化せよ:

$$\int{5 x e^{- \frac{6 x}{5}} d x} = \frac{25 \left(- 6 x - 5\right) e^{- \frac{6 x}{5}}}{36}$$

積分定数を加える:

$$\int{5 x e^{- \frac{6 x}{5}} d x} = \frac{25 \left(- 6 x - 5\right) e^{- \frac{6 x}{5}}}{36}+C$$

$$$\int 5 x e^{- \frac{6 x}{5}}\, dx = \frac{25 \left(- 6 x - 5\right) e^{- \frac{6 x}{5}}}{36} + C$$$A