$$$3^{x^{2}}$$$의 적분

$$$\int 3^{x^{2}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

밑변환:

$${\color{red}{\int{3^{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{x^{2} \ln{\left(3 \right)}} d x}}}$$

$$$u=x \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}\right)^{\prime }dx = \sqrt{\ln{\left(3 \right)}} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{\sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{e^{x^{2} \ln{\left(3 \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{\sqrt{\ln{\left(3 \right)}}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{\sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{\sqrt{\ln{\left(3 \right)}}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u^{2}} d u}}{\sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}}}$$

이 적분(허수 오차 함수)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}}}{\sqrt{\ln{\left(3 \right)}}} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{\sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}$$

다음 $$$u=x \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}$$$을 기억하라:

$$\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{x \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}} \right)}}{2 \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}$$

따라서,

$$\int{3^{x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{\ln{\left(3 \right)}} \right)}}{2 \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{3^{x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{\ln{\left(3 \right)}} \right)}}{2 \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}+C$$

$$$\int 3^{x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{\ln\left(3\right)} \right)}}{2 \sqrt{\ln\left(3\right)}} + C$$$A