$$$3^{x^{2}}$$$の積分

$$$\int 3^{x^{2}}\, dx$$$ を求めよ。

基数を変更:

$${\color{red}{\int{3^{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{x^{2} \ln{\left(3 \right)}} d x}}}$$

$$$u=x \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}$$$ とする。

すると $$$du=\left(x \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}\right)^{\prime }dx = \sqrt{\ln{\left(3 \right)}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{\sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{e^{x^{2} \ln{\left(3 \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{\sqrt{\ln{\left(3 \right)}}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{\sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{\sqrt{\ln{\left(3 \right)}}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u^{2}} d u}}{\sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}}}$$

この積分（虚誤差関数）には閉形式はありません:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}}}{\sqrt{\ln{\left(3 \right)}}} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{\sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}$$$:

$$\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{x \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}} \right)}}{2 \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}$$

したがって、

$$\int{3^{x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{\ln{\left(3 \right)}} \right)}}{2 \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}$$

積分定数を加える:

$$\int{3^{x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{\ln{\left(3 \right)}} \right)}}{2 \sqrt{\ln{\left(3 \right)}}}+C$$

$$$\int 3^{x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{\ln\left(3\right)} \right)}}{2 \sqrt{\ln\left(3\right)}} + C$$$A