$$$u$$$에 대한 $$$\frac{1}{a^{2} - u^{2}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{a^{2} - u^{2}}\, du$$$을(를) 구하시오.

부분분수 분해 수행:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{a^{2} - u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 a \left(a + u\right)} - \frac{1}{2 a \left(- a + u\right)}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 a \left(a + u\right)} - \frac{1}{2 a \left(- a + u\right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + \int{\frac{1}{2 a \left(a + u\right)} d u}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2 a}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{a + u}$$$에 적용하세요:

$$- \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 a \left(a + u\right)} d u}}} = - \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{a + u} d u}}{2 a}\right)}}$$

$$$v=a + u$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(a + u\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = dv$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$- \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{a + u} d u}}}}{2 a} = - \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2 a}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$- \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2 a} = - \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2 a}$$

다음 $$$v=a + u$$$을 기억하라:

$$- \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2 a} = - \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(a + u\right)}}}\right| \right)}}{2 a}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2 a}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{- a + u}$$$에 적용하세요:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u}}} + \frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a} = - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{- a + u} d u}}{2 a}\right)}} + \frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a}$$

$$$v=- a + u$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(- a + u\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = dv$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{- a + u} d u}}}}{2 a} = \frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2 a}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2 a} = \frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2 a}$$

다음 $$$v=- a + u$$$을 기억하라:

$$\frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2 a} = \frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(- a + u\right)}}}\right| \right)}}{2 a}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{a^{2} - u^{2}} d u} = - \frac{\ln{\left(\left|{a - u}\right| \right)}}{2 a} + \frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{1}{a^{2} - u^{2}} d u} = \frac{- \ln{\left(\left|{a - u}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{a^{2} - u^{2}} d u} = \frac{- \ln{\left(\left|{a - u}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a}+C$$

$$$\int \frac{1}{a^{2} - u^{2}}\, du = \frac{- \ln\left(\left|{a - u}\right|\right) + \ln\left(\left|{a + u}\right|\right)}{2 a} + C$$$A