$$$\frac{1}{a^{2} - u^{2}}$$$ 對 $$$u$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{a^{2} - u^{2}}\, du$$$。

進行部分分式分解:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{a^{2} - u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 a \left(a + u\right)} - \frac{1}{2 a \left(- a + u\right)}\right)d u}}}$$

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 a \left(a + u\right)} - \frac{1}{2 a \left(- a + u\right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + \int{\frac{1}{2 a \left(a + u\right)} d u}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2 a}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{a + u}$$$：

$$- \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 a \left(a + u\right)} d u}}} = - \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{a + u} d u}}{2 a}\right)}}$$

令 $$$v=a + u$$$。

則 $$$dv=\left(a + u\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = dv$$$。

該積分變為

$$- \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{a + u} d u}}}}{2 a} = - \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2 a}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：

$$- \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2 a} = - \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2 a}$$

回顧一下 $$$v=a + u$$$：

$$- \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2 a} = - \int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(a + u\right)}}}\right| \right)}}{2 a}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2 a}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{- a + u}$$$：

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{2 a \left(- a + u\right)} d u}}} + \frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a} = - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{- a + u} d u}}{2 a}\right)}} + \frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a}$$

令 $$$v=- a + u$$$。

則 $$$dv=\left(- a + u\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = dv$$$。

因此，

$$\frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{- a + u} d u}}}}{2 a} = \frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2 a}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2 a} = \frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2 a}$$

回顧一下 $$$v=- a + u$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2 a} = \frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(- a + u\right)}}}\right| \right)}}{2 a}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{a^{2} - u^{2}} d u} = - \frac{\ln{\left(\left|{a - u}\right| \right)}}{2 a} + \frac{\ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a}$$

化簡：

$$\int{\frac{1}{a^{2} - u^{2}} d u} = \frac{- \ln{\left(\left|{a - u}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{a^{2} - u^{2}} d u} = \frac{- \ln{\left(\left|{a - u}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{a + u}\right| \right)}}{2 a}+C$$

$$$\int \frac{1}{a^{2} - u^{2}}\, du = \frac{- \ln\left(\left|{a - u}\right|\right) + \ln\left(\left|{a + u}\right|\right)}{2 a} + C$$$A