$$$\frac{1}{9 x^{2} - 4}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{9 x^{2} - 4}\, dx$$$을(를) 구하시오.

부분분수분해를 수행합니다(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{9 x^{2} - 4} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{4 \left(3 x + 2\right)} + \frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)}\right)d x}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{4 \left(3 x + 2\right)} + \frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - \int{\frac{1}{4 \left(3 x + 2\right)} d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{3 x + 2}$$$에 적용하세요:

$$\int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{4 \left(3 x + 2\right)} d x}}} = \int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{3 x + 2} d x}}{4}\right)}}$$

$$$u=3 x + 2$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(3 x + 2\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{3}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 x + 2} d x}}}}{4} = \int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}}}{4}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{3}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$에 적용하세요:

$$\int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}}}{4} = \int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{3}\right)}}}{4}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{12} = \int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{12}$$

다음 $$$u=3 x + 2$$$을 기억하라:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{12} + \int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(3 x + 2\right)}}}\right| \right)}}{12} + \int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{3 x - 2}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + {\color{red}{\int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x}}} = - \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{3 x - 2} d x}}{4}\right)}}$$

$$$u=3 x - 2$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(3 x - 2\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{3}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$- \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 x - 2} d x}}}}{4} = - \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}}}{4}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{3}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}}}{4} = - \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{3}\right)}}}{4}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{12} = - \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{12}$$

다음 $$$u=3 x - 2$$$을 기억하라:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{12} = - \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(3 x - 2\right)}}}\right| \right)}}{12}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{9 x^{2} - 4} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{3 x - 2}\right| \right)}}{12} - \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{9 x^{2} - 4} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{3 x - 2}\right| \right)}}{12} - \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12}+C$$

$$$\int \frac{1}{9 x^{2} - 4}\, dx = \left(\frac{\ln\left(\left|{3 x - 2}\right|\right)}{12} - \frac{\ln\left(\left|{3 x + 2}\right|\right)}{12}\right) + C$$$A