$$$\frac{1}{9 x^{2} - 4}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{9 x^{2} - 4}\, dx$$$ を求めよ。

部分分数分解を行う (手順は»で確認できます):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{9 x^{2} - 4} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{4 \left(3 x + 2\right)} + \frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)}\right)d x}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{4 \left(3 x + 2\right)} + \frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - \int{\frac{1}{4 \left(3 x + 2\right)} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{3 x + 2}$$$ に対して適用する:

$$\int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{4 \left(3 x + 2\right)} d x}}} = \int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{3 x + 2} d x}}{4}\right)}}$$

$$$u=3 x + 2$$$ とする。

すると $$$du=\left(3 x + 2\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{3}$$$ となります。

したがって、

$$\int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 x + 2} d x}}}}{4} = \int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}}}{4}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$$\int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}}}{4} = \int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{3}\right)}}}{4}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$\int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{12} = \int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{12}$$

次のことを思い出してください $$$u=3 x + 2$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{12} + \int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(3 x + 2\right)}}}\right| \right)}}{12} + \int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{3 x - 2}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + {\color{red}{\int{\frac{1}{4 \left(3 x - 2\right)} d x}}} = - \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{3 x - 2} d x}}{4}\right)}}$$

$$$u=3 x - 2$$$ とする。

すると $$$du=\left(3 x - 2\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{3}$$$ となります。

積分は次のようになります

$$- \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 x - 2} d x}}}}{4} = - \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}}}{4}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}}}{4} = - \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{3}\right)}}}{4}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{12} = - \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{12}$$

次のことを思い出してください $$$u=3 x - 2$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{12} = - \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(3 x - 2\right)}}}\right| \right)}}{12}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{9 x^{2} - 4} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{3 x - 2}\right| \right)}}{12} - \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{9 x^{2} - 4} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{3 x - 2}\right| \right)}}{12} - \frac{\ln{\left(\left|{3 x + 2}\right| \right)}}{12}+C$$

$$$\int \frac{1}{9 x^{2} - 4}\, dx = \left(\frac{\ln\left(\left|{3 x - 2}\right|\right)}{12} - \frac{\ln\left(\left|{3 x + 2}\right|\right)}{12}\right) + C$$$A