$$$\frac{2}{x \sqrt{x^{2} - 4}}$$$의 적분

$$$\int \frac{2}{x \sqrt{x^{2} - 4}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x}\right)}}$$

$$$u=\frac{1}{x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{1 - 4 u^{2}}}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 u^{2}}}$$$에 적용하세요:

$$2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{1 - 4 u^{2}}}\right)d u}}} = 2 {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{\sqrt{1 - 4 u^{2}}} d u}\right)}}$$

$$$u=\frac{\sin{\left(v \right)}}{2}$$$라 하자.

따라서 $$$du=\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{2}\right)^{\prime }dv = \frac{\cos{\left(v \right)}}{2} dv$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$v=\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}$$$가 성립한다.

따라서,

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$

$$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{\cos{\left( v \right)}}$$$

따라서,

$$- 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{1 - 4 u^{2}}} d u}}} = - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d v}}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dv = c v$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$에 적용하십시오:

$$- 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d v}}} = - 2 {\color{red}{\left(\frac{v}{2}\right)}}$$

다음 $$$v=\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}$$$을 기억하라:

$$- {\color{red}{v}} = - {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}}}$$

다음 $$$u=\frac{1}{x}$$$을 기억하라:

$$- \operatorname{asin}{\left(2 {\color{red}{u}} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(2 {\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{2}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{2}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{2}{x \sqrt{x^{2} - 4}}\, dx = - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)} + C$$$A