Funktion $$$\frac{2}{x \sqrt{x^{2} - 4}}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{2}{x \sqrt{x^{2} - 4}}\, dx$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=2$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x}\right)}}$$

Olkoon $$$u=\frac{1}{x}$$$.

Tällöin $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$.

Integraali muuttuu muotoon

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{1 - 4 u^{2}}}\right)d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=-1$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 u^{2}}}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{1 - 4 u^{2}}}\right)d u}}} = 2 {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{\sqrt{1 - 4 u^{2}}} d u}\right)}}$$

Olkoon $$$u=\frac{\sin{\left(v \right)}}{2}$$$.

Tällöin $$$du=\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{2}\right)^{\prime }dv = \frac{\cos{\left(v \right)}}{2} dv$$$ (ratkaisuvaiheet ovat nähtävissä »).

Lisäksi seuraa, että $$$v=\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}$$$.

Näin ollen,

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$

Käytä identiteettiä $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$:

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

Olettamalla, että $$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$, saamme seuraavaa:

$$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{\cos{\left( v \right)}}$$$

Integraali voidaan kirjoittaa uudelleen muodossa

$$- 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{1 - 4 u^{2}}} d u}}} = - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d v}}}$$

Sovella vakiosääntöä $$$\int c\, dv = c v$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{2}$$$:

$$- 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d v}}} = - 2 {\color{red}{\left(\frac{v}{2}\right)}}$$

Muista, että $$$v=\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}$$$:

$$- {\color{red}{v}} = - {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}}}$$

Muista, että $$$u=\frac{1}{x}$$$:

$$- \operatorname{asin}{\left(2 {\color{red}{u}} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(2 {\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{2}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{2}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{2}{x \sqrt{x^{2} - 4}}\, dx = - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)} + C$$$A