$$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{x + 1}$$$의 적분

$$$\int \frac{\sin{\left(x \right)}}{x + 1}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=x + 1$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{x + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u - 1 \right)}}{u} d u}}}$$

피적분함수를 다시 쓰십시오:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u - 1 \right)}}{u} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)} \cos{\left(1 \right)} - \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

Expand the expression:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)} \cos{\left(1 \right)} - \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(u \right)}}{u} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{\sin{\left(u \right)} \cos{\left(1 \right)}}{u} - \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(u \right)}}{u}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{\sin{\left(u \right)} \cos{\left(1 \right)}}{u} - \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(u \right)}}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(u \right)}}{u} d u} + \int{\frac{\sin{\left(u \right)} \cos{\left(1 \right)}}{u} d u}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\cos{\left(1 \right)}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{\sin{\left(u \right)}}{u}$$$에 적용하세요:

$$- \int{\frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(u \right)}}{u} d u} + {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)} \cos{\left(1 \right)}}{u} d u}}} = - \int{\frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(u \right)}}{u} d u} + {\color{red}{\cos{\left(1 \right)} \int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

이 적분(사인 적분)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$- \int{\frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(u \right)}}{u} d u} + \cos{\left(1 \right)} {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = - \int{\frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(u \right)}}{u} d u} + \cos{\left(1 \right)} {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\sin{\left(1 \right)}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}$$$에 적용하세요:

$$\cos{\left(1 \right)} \operatorname{Si}{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(u \right)}}{u} d u}}} = \cos{\left(1 \right)} \operatorname{Si}{\left(u \right)} - {\color{red}{\sin{\left(1 \right)} \int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

이 적분(코사인 적분)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$\cos{\left(1 \right)} \operatorname{Si}{\left(u \right)} - \sin{\left(1 \right)} {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{u} d u}}} = \cos{\left(1 \right)} \operatorname{Si}{\left(u \right)} - \sin{\left(1 \right)} {\color{red}{\operatorname{Ci}{\left(u \right)}}}$$

다음 $$$u=x + 1$$$을 기억하라:

$$- \sin{\left(1 \right)} \operatorname{Ci}{\left({\color{red}{u}} \right)} + \cos{\left(1 \right)} \operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \sin{\left(1 \right)} \operatorname{Ci}{\left({\color{red}{\left(x + 1\right)}} \right)} + \cos{\left(1 \right)} \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\left(x + 1\right)}} \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{x + 1} d x} = - \sin{\left(1 \right)} \operatorname{Ci}{\left(x + 1 \right)} + \cos{\left(1 \right)} \operatorname{Si}{\left(x + 1 \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{x + 1} d x} = - \sin{\left(1 \right)} \operatorname{Ci}{\left(x + 1 \right)} + \cos{\left(1 \right)} \operatorname{Si}{\left(x + 1 \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(x \right)}}{x + 1}\, dx = \left(- \sin{\left(1 \right)} \operatorname{Ci}{\left(x + 1 \right)} + \cos{\left(1 \right)} \operatorname{Si}{\left(x + 1 \right)}\right) + C$$$A