$$$e^{x} \cos{\left(2 x \right)}$$$の積分

$$$\int e^{x} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\cos{\left(2 x \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }dx=- 2 \sin{\left(2 x \right)} dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\cos{\left(2 x \right)} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) d x}\right)}}={\color{red}{\left(e^{x} \cos{\left(2 x \right)} - \int{\left(- 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\right)d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=-2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(2 x \right)}$$$ に対して適用する:

$$e^{x} \cos{\left(2 x \right)} - {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\right)d x}}} = e^{x} \cos{\left(2 x \right)} - {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{x} \sin{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

積分 $$$\int{e^{x} \sin{\left(2 x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\sin{\left(2 x \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }dx=2 \cos{\left(2 x \right)} dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + 2 {\color{red}{\int{e^{x} \sin{\left(2 x \right)} d x}}}=e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + 2 {\color{red}{\left(\sin{\left(2 x \right)} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 2 \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}=e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + 2 {\color{red}{\left(e^{x} \sin{\left(2 x \right)} - \int{2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{x} \cos{\left(2 x \right)}$$$ に対して適用する:

$$2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + e^{x} \cos{\left(2 x \right)} - 2 {\color{red}{\int{2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}}} = 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + e^{x} \cos{\left(2 x \right)} - 2 {\color{red}{\left(2 \int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

すでに見た積分に帰着しました。

したがって、積分に関する次の簡単な等式を得ました:

$$\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x} = 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + e^{x} \cos{\left(2 x \right)} - 4 \int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}$$

これを解くと、次のようになります。

$$\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}$$

したがって、

$$\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}+C$$

$$$\int e^{x} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5} + C$$$A