$$$e^{3 x^{2}}$$$の積分

$$$\int e^{3 x^{2}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\sqrt{3} x$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sqrt{3} x\right)^{\prime }dx = \sqrt{3} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{\sqrt{3} du}{3}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{e^{3 x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{3} e^{u^{2}}}{3} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{\sqrt{3}}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{3} e^{u^{2}}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{3} \int{e^{u^{2}} d u}}{3}\right)}}$$

この積分（虚誤差関数）には閉形式はありません:

$$\frac{\sqrt{3} {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}}}{3} = \frac{\sqrt{3} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sqrt{3} x$$$:

$$\frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{6} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\sqrt{3} x}} \right)}}{6}$$

したがって、

$$\int{e^{3 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{6}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{3 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{6}+C$$

$$$\int e^{3 x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{6} + C$$$A