$$$e^{3 x^{2}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int e^{3 x^{2}}\, dx$$$.

$$$u=\sqrt{3} x$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\sqrt{3} x\right)^{\prime }dx = \sqrt{3} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{\sqrt{3} du}{3}$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{e^{3 x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{3} e^{u^{2}}}{3} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{\sqrt{3}}{3}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{3} e^{u^{2}}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{3} \int{e^{u^{2}} d u}}{3}\right)}}$$

Bu integralin (İmajiner Hata Fonksiyonu) kapalı biçimli bir ifadesi yok:

$$\frac{\sqrt{3} {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}}}{3} = \frac{\sqrt{3} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{3}$$

Hatırlayın ki $$$u=\sqrt{3} x$$$:

$$\frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{6} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\sqrt{3} x}} \right)}}{6}$$

Dolayısıyla,

$$\int{e^{3 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{6}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{e^{3 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{6}+C$$

$$$\int e^{3 x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{6} + C$$$A