$$$\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\, dx$$$ を求めよ。

積分$$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x}$$$を計算するには、積分$$$\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}$$$に部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を適用します。

$$$\operatorname{u}=\frac{1}{x^{2} + 1}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\frac{1}{x^{2} + 1}\right)^{\prime }dx=- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x}=\frac{1}{x^{2} + 1} \cdot x-\int{x \cdot \left(- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right) d x}=\frac{x}{x^{2} + 1} - \int{\left(- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)d x}$$

定数をくくり出す:

$$\frac{x}{x^{2} + 1} - \int{\left(- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)d x}=\frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int{\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x}$$

被積分関数の分子を$$$x^{2}=x^{2}{\color{red}{+1}}{\color{red}{-1}}$$$と書き換えて、分割する：

$$\frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int{\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x}=\frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int{\left(- \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{x^{2} + 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)d x}=\frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)d x}$$

積分を分割する:

$$\frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)d x}=\frac{x}{x^{2} + 1} - 2 \int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x} + 2 \int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}$$

したがって、積分に関する次の簡単な一次方程式を得ます:

$$\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}=\frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x} - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x}}}$$

これを解くと、次のようになる

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x}=\frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}}{2}$$

$$$\frac{1}{x^{2} + 1}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$$ です:

$$\frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}}}}{2} = \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{{\color{red}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x} = \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$$

簡単化せよ:

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x} = \frac{x + \left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 \left(x^{2} + 1\right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x} = \frac{x + \left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 \left(x^{2} + 1\right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\, dx = \frac{x + \left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + C$$$A