Intégrale de $$$\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\, dx$$$.

Pour calculer l’intégrale $$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x}$$$, appliquez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ à l’intégrale $$$\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=\frac{1}{x^{2} + 1}$$$ et $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(\frac{1}{x^{2} + 1}\right)^{\prime }dx=- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Donc,

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x}=\frac{1}{x^{2} + 1} \cdot x-\int{x \cdot \left(- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right) d x}=\frac{x}{x^{2} + 1} - \int{\left(- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)d x}$$

Extraire la constante :

$$\frac{x}{x^{2} + 1} - \int{\left(- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)d x}=\frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int{\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x}$$

Réécrire le numérateur de l’intégrande sous la forme $$$x^{2}=x^{2}{\color{red}{+1}}{\color{red}{-1}}$$$ et scinder :

$$\frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int{\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x}=\frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int{\left(- \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{x^{2} + 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)d x}=\frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)d x}$$

Scindez les intégrales :

$$\frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)d x}=\frac{x}{x^{2} + 1} - 2 \int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x} + 2 \int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}$$

Ainsi, nous obtenons l’équation linéaire simple suivante par rapport à l’intégrale :

$$\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}=\frac{x}{x^{2} + 1} + 2 \int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x} - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x}}}$$

En le résolvant, nous obtenons que

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x}=\frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}}{2}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{x^{2} + 1}$$$ est $$$\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$$ :

$$\frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}}}}{2} = \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{{\color{red}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x} = \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$$

Simplifier:

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x} = \frac{x + \left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 \left(x^{2} + 1\right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x} = \frac{x + \left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 \left(x^{2} + 1\right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\, dx = \frac{x + \left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + C$$$A