$$$x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)}$$$の積分

$$$\int x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x^{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u \cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u \cos{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{u \cos{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u \cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

積分 $$$\int{u \cos{\left(u \right)} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{m} \operatorname{dv} = \operatorname{m}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dm}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{m}=u$$$ と $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(u \right)} du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{dm}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(u \right)} d u}=\sin{\left(u \right)}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$\frac{{\color{red}{\int{u \cos{\left(u \right)} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u \cdot \sin{\left(u \right)}-\int{\sin{\left(u \right)} \cdot 1 d u}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u \sin{\left(u \right)} - \int{\sin{\left(u \right)} d u}\right)}}}{2}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$\frac{u \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{u \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=x^{2}$$$:

$$\frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{u}} \sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\cos{\left({\color{red}{x^{2}}} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{x^{2}}} \sin{\left({\color{red}{x^{2}}} \right)}}{2}$$

したがって、

$$\int{x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)} d x} = \frac{x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x^{2} \right)}}{2}$$

簡単化せよ:

$$\int{x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)} d x} = \frac{x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + \cos{\left(x^{2} \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)} d x} = \frac{x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + \cos{\left(x^{2} \right)}}{2}+C$$

$$$\int x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)}\, dx = \frac{x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + \cos{\left(x^{2} \right)}}{2} + C$$$A