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$$$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{21}}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{21}}}\, dx$$$ を求めよ。
解答
入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{21}}} d x}=\int{\frac{1}{x^{\frac{17}{2}}} d x}$$$。
$$$n=- \frac{17}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{\frac{17}{2}}} d x}}}={\color{red}{\int{x^{- \frac{17}{2}} d x}}}={\color{red}{\frac{x^{- \frac{17}{2} + 1}}{- \frac{17}{2} + 1}}}={\color{red}{\left(- \frac{2 x^{- \frac{15}{2}}}{15}\right)}}={\color{red}{\left(- \frac{2}{15 x^{\frac{15}{2}}}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\frac{1}{x^{\frac{17}{2}}} d x} = - \frac{2}{15 x^{\frac{15}{2}}}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{1}{x^{\frac{17}{2}}} d x} = - \frac{2}{15 x^{\frac{15}{2}}}+C$$
解答
$$$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{21}}}\, dx = - \frac{2}{15 x^{\frac{15}{2}}} + C$$$A