$$$\tan{\left(7 x \right)} \sec^{5}{\left(7 x \right)}$$$の積分

$$$\int \tan{\left(7 x \right)} \sec^{5}{\left(7 x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=7 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(7 x\right)^{\prime }dx = 7 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{7}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\tan{\left(7 x \right)} \sec^{5}{\left(7 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{5}{\left(u \right)}}{7} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{7}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \tan{\left(u \right)} \sec^{5}{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\tan{\left(u \right)} \sec^{5}{\left(u \right)}}{7} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\tan{\left(u \right)} \sec^{5}{\left(u \right)} d u}}{7}\right)}}$$

$$$v=\sec{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\sec{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$\tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} du = dv$$$ となります。

したがって、

$$\frac{{\color{red}{\int{\tan{\left(u \right)} \sec^{5}{\left(u \right)} d u}}}}{7} = \frac{{\color{red}{\int{v^{4} d v}}}}{7}$$

$$$n=4$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{{\color{red}{\int{v^{4} d v}}}}{7}=\frac{{\color{red}{\frac{v^{1 + 4}}{1 + 4}}}}{7}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{v^{5}}{5}\right)}}}{7}$$

次のことを思い出してください $$$v=\sec{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{v}}^{5}}{35} = \frac{{\color{red}{\sec{\left(u \right)}}}^{5}}{35}$$

次のことを思い出してください $$$u=7 x$$$:

$$\frac{\sec^{5}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{35} = \frac{\sec^{5}{\left({\color{red}{\left(7 x\right)}} \right)}}{35}$$

したがって、

$$\int{\tan{\left(7 x \right)} \sec^{5}{\left(7 x \right)} d x} = \frac{\sec^{5}{\left(7 x \right)}}{35}$$

積分定数を加える:

$$\int{\tan{\left(7 x \right)} \sec^{5}{\left(7 x \right)} d x} = \frac{\sec^{5}{\left(7 x \right)}}{35}+C$$

$$$\int \tan{\left(7 x \right)} \sec^{5}{\left(7 x \right)}\, dx = \frac{\sec^{5}{\left(7 x \right)}}{35} + C$$$A