$$$e^{\frac{x^{2}}{8}}$$$の積分

$$$\int e^{\frac{x^{2}}{8}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{\sqrt{2} x}{4}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} x}{4}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{4} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 2 \sqrt{2} du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x^{2}}{8}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \sqrt{2} e^{u^{2}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2 \sqrt{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 \sqrt{2} e^{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \sqrt{2} \int{e^{u^{2}} d u}\right)}}$$

この積分（虚誤差関数）には閉形式はありません:

$$2 \sqrt{2} {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}} = 2 \sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{4}$$$:

$$\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4}\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{e^{\frac{x^{2}}{8}} d x} = \sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\frac{x^{2}}{8}} d x} = \sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4} \right)}+C$$

$$$\int e^{\frac{x^{2}}{8}}\, dx = \sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4} \right)} + C$$$A