$$$e^{\frac{x^{2}}{8}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int e^{\frac{x^{2}}{8}}\, dx$$$.

$$$u=\frac{\sqrt{2} x}{4}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} x}{4}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{4} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = 2 \sqrt{2} du$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x^{2}}{8}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \sqrt{2} e^{u^{2}} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=2 \sqrt{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{2 \sqrt{2} e^{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \sqrt{2} \int{e^{u^{2}} d u}\right)}}$$

Bu integralin (İmajiner Hata Fonksiyonu) kapalı biçimli bir ifadesi yok:

$$2 \sqrt{2} {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}} = 2 \sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{4}$$$:

$$\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4}\right)}} \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{e^{\frac{x^{2}}{8}} d x} = \sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4} \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{e^{\frac{x^{2}}{8}} d x} = \sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4} \right)}+C$$

$$$\int e^{\frac{x^{2}}{8}}\, dx = \sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4} \right)} + C$$$A