Intégrale de $$$e^{\frac{x^{2}}{8}}$$$

Déterminez $$$\int e^{\frac{x^{2}}{8}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{4}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} x}{4}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{4} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = 2 \sqrt{2} du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x^{2}}{8}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \sqrt{2} e^{u^{2}} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=2 \sqrt{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ :

$${\color{red}{\int{2 \sqrt{2} e^{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \sqrt{2} \int{e^{u^{2}} d u}\right)}}$$

Cette intégrale (Fonction d'erreur imaginaire) n’admet pas de forme fermée :

$$2 \sqrt{2} {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}} = 2 \sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{4}$$$ :

$$\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4}\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\frac{x^{2}}{8}} d x} = \sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\frac{x^{2}}{8}} d x} = \sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4} \right)}+C$$

$$$\int e^{\frac{x^{2}}{8}}\, dx = \sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4} \right)} + C$$$A