$$$\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$x=\cosh{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} du$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\left(\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$$

恒等式 $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{1}{\left(\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\left(\sinh^{2}{\left( u \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}$$$

$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\frac{1}{\left(\sinh^{2}{\left( u \right)}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sinh^{3}{\left( u \right)}}$$$

積分は次のようになる

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sinh^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

被積分関数を双曲線余割関数で表しなさい:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sinh^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\operatorname{csch}^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$\operatorname{csch}^{2}{\left(u \right)}$$$ の不定積分は $$$\int{\operatorname{csch}^{2}{\left(u \right)} d u} = - \coth{\left(u \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\operatorname{csch}^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \coth{\left(u \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$:

$$- \coth{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \coth{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} d x} = - \frac{x}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} d x} = - \frac{x}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}}+C$$

$$$\int \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{x}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}} + C$$$A