Intégrale de $$$\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\, dx$$$.

Soit $$$x=\cosh{\left(u \right)}$$$.

Alors $$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} du$$$ (les étapes peuvent être vues »).

De plus, il s'ensuit que $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$.

Ainsi,

$$$\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\left(\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$$

Utilisez l'identité $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$ :

$$$\frac{1}{\left(\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\left(\sinh^{2}{\left( u \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}$$$

En supposant que $$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$, nous obtenons ce qui suit :

$$$\frac{1}{\left(\sinh^{2}{\left( u \right)}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sinh^{3}{\left( u \right)}}$$$

Ainsi,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sinh^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

Réécrivez l’intégrande en fonction de la cosécante hyperbolique:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sinh^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\operatorname{csch}^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

L’intégrale de $$$\operatorname{csch}^{2}{\left(u \right)}$$$ est $$$\int{\operatorname{csch}^{2}{\left(u \right)} d u} = - \coth{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\operatorname{csch}^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \coth{\left(u \right)}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$ :

$$- \coth{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \coth{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} d x} = - \frac{x}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} d x} = - \frac{x}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}}+C$$

$$$\int \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{x}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}} + C$$$A