$$$\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\, dx$$$.

$$$x=\cosh{\left(u \right)}$$$ olsun.

O halde $$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} du$$$ (adımlar » görülebilir).

Ayrıca, buradan $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$ elde edilir.

Dolayısıyla,

$$$\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\left(\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$$

Özdeşliği kullanın: $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$

$$$\frac{1}{\left(\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\left(\sinh^{2}{\left( u \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}$$$

$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$ olduğunu varsayarsak, aşağıdakileri elde ederiz:

$$$\frac{1}{\left(\sinh^{2}{\left( u \right)}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sinh^{3}{\left( u \right)}}$$$

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sinh^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

İntegral içindeki ifadeyi hiperbolik kosekant cinsinden yeniden yazın:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sinh^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\operatorname{csch}^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$\operatorname{csch}^{2}{\left(u \right)}$$$'nin integrali $$$\int{\operatorname{csch}^{2}{\left(u \right)} d u} = - \coth{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\operatorname{csch}^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \coth{\left(u \right)}\right)}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$:

$$- \coth{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \coth{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}} \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} d x} = - \frac{x}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} d x} = - \frac{x}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}}+C$$

$$$\int \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{x}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}} + C$$$A