|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$\frac{4}{t^{3}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{4}{t^{3}}\, dt$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=4$$$ と $$$f{\left(t \right)} = \frac{1}{t^{3}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{4}{t^{3}} d t}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\frac{1}{t^{3}} d t}\right)}}$$
$$$n=-3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$4 {\color{red}{\int{\frac{1}{t^{3}} d t}}}=4 {\color{red}{\int{t^{-3} d t}}}=4 {\color{red}{\frac{t^{-3 + 1}}{-3 + 1}}}=4 {\color{red}{\left(- \frac{t^{-2}}{2}\right)}}=4 {\color{red}{\left(- \frac{1}{2 t^{2}}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\frac{4}{t^{3}} d t} = - \frac{2}{t^{2}}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{4}{t^{3}} d t} = - \frac{2}{t^{2}}+C$$
解答
$$$\int \frac{4}{t^{3}}\, dt = - \frac{2}{t^{2}} + C$$$A