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$$$3^{x}$$$ の二階導関数
入力内容
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(3^{x}\right)$$$ を求めよ。
解答
一階導関数 $$$\frac{d}{dx} \left(3^{x}\right)$$$ を求めよ
指数法則 $$$\frac{d}{dx} \left(n^{x}\right) = n^{x} \ln\left(n\right)$$$ を $$$n = 3$$$ に対して適用する:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3^{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(3^{x} \ln\left(3\right)\right)}$$したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(3^{x}\right) = 3^{x} \ln\left(3\right)$$$。
次に、$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(3^{x}\right) = \frac{d}{dx} \left(3^{x} \ln\left(3\right)\right)$$$
定数倍の法則 $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ を $$$c = \ln\left(3\right)$$$ と $$$f{\left(x \right)} = 3^{x}$$$ に対して適用します:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3^{x} \ln\left(3\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\ln\left(3\right) \frac{d}{dx} \left(3^{x}\right)\right)}$$指数法則 $$$\frac{d}{dx} \left(n^{x}\right) = n^{x} \ln\left(n\right)$$$ を $$$n = 3$$$ に対して適用する:
$$\ln\left(3\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3^{x}\right)\right)} = \ln\left(3\right) {\color{red}\left(3^{x} \ln\left(3\right)\right)}$$したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(3^{x} \ln\left(3\right)\right) = 3^{x} \ln^{2}\left(3\right)$$$。
したがって、$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(3^{x}\right) = 3^{x} \ln^{2}\left(3\right)$$$。
解答
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(3^{x}\right) = 3^{x} \ln^{2}\left(3\right)$$$A
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