Intégrale de $$$2 t e^{- 5 t}$$$

Déterminez $$$\int 2 t e^{- 5 t}\, dt$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(t \right)} = t e^{- 5 t}$$$ :

$${\color{red}{\int{2 t e^{- 5 t} d t}}} = {\color{red}{\left(2 \int{t e^{- 5 t} d t}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{t e^{- 5 t} d t}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=t$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{- 5 t} dt$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 5 t} d t}=- \frac{e^{- 5 t}}{5}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Par conséquent,

$$2 {\color{red}{\int{t e^{- 5 t} d t}}}=2 {\color{red}{\left(t \cdot \left(- \frac{e^{- 5 t}}{5}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 5 t}}{5}\right) \cdot 1 d t}\right)}}=2 {\color{red}{\left(- \frac{t e^{- 5 t}}{5} - \int{\left(- \frac{e^{- 5 t}}{5}\right)d t}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ avec $$$c=- \frac{1}{5}$$$ et $$$f{\left(t \right)} = e^{- 5 t}$$$ :

$$- \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} - 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{- 5 t}}{5}\right)d t}}} = - \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} - 2 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{- 5 t} d t}}{5}\right)}}$$

Soit $$$u=- 5 t$$$.

Alors $$$du=\left(- 5 t\right)^{\prime }dt = - 5 dt$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dt = - \frac{du}{5}$$$.

L’intégrale devient

$$- \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} + \frac{2 {\color{red}{\int{e^{- 5 t} d t}}}}{5} = - \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} + \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}}}{5}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=- \frac{1}{5}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$- \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} + \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}}}{5} = - \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} + \frac{2 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}}{5}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} - \frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{25} = - \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} - \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{25}$$

Rappelons que $$$u=- 5 t$$$ :

$$- \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} - \frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{25} = - \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} - \frac{2 e^{{\color{red}{\left(- 5 t\right)}}}}{25}$$

Par conséquent,

$$\int{2 t e^{- 5 t} d t} = - \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} - \frac{2 e^{- 5 t}}{25}$$

Simplifier:

$$\int{2 t e^{- 5 t} d t} = \frac{2 \left(- 5 t - 1\right) e^{- 5 t}}{25}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{2 t e^{- 5 t} d t} = \frac{2 \left(- 5 t - 1\right) e^{- 5 t}}{25}+C$$

$$$\int 2 t e^{- 5 t}\, dt = \frac{2 \left(- 5 t - 1\right) e^{- 5 t}}{25} + C$$$A