Integrale di $$$2 t e^{- 5 t}$$$

Trova $$$\int 2 t e^{- 5 t}\, dt$$$.

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ con $$$c=2$$$ e $$$f{\left(t \right)} = t e^{- 5 t}$$$:

$${\color{red}{\int{2 t e^{- 5 t} d t}}} = {\color{red}{\left(2 \int{t e^{- 5 t} d t}\right)}}$$

Per l'integrale $$$\int{t e^{- 5 t} d t}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Siano $$$\operatorname{u}=t$$$ e $$$\operatorname{dv}=e^{- 5 t} dt$$$.

Quindi $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 5 t} d t}=- \frac{e^{- 5 t}}{5}$$$ (i passaggi si possono vedere »).

Quindi,

$$2 {\color{red}{\int{t e^{- 5 t} d t}}}=2 {\color{red}{\left(t \cdot \left(- \frac{e^{- 5 t}}{5}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 5 t}}{5}\right) \cdot 1 d t}\right)}}=2 {\color{red}{\left(- \frac{t e^{- 5 t}}{5} - \int{\left(- \frac{e^{- 5 t}}{5}\right)d t}\right)}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ con $$$c=- \frac{1}{5}$$$ e $$$f{\left(t \right)} = e^{- 5 t}$$$:

$$- \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} - 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{- 5 t}}{5}\right)d t}}} = - \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} - 2 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{- 5 t} d t}}{5}\right)}}$$

Sia $$$u=- 5 t$$$.

Quindi $$$du=\left(- 5 t\right)^{\prime }dt = - 5 dt$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dt = - \frac{du}{5}$$$.

Quindi,

$$- \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} + \frac{2 {\color{red}{\int{e^{- 5 t} d t}}}}{5} = - \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} + \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}}}{5}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=- \frac{1}{5}$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$- \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} + \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}}}{5} = - \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} + \frac{2 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}}{5}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} - \frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{25} = - \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} - \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{25}$$

Ricordiamo che $$$u=- 5 t$$$:

$$- \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} - \frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{25} = - \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} - \frac{2 e^{{\color{red}{\left(- 5 t\right)}}}}{25}$$

Pertanto,

$$\int{2 t e^{- 5 t} d t} = - \frac{2 t e^{- 5 t}}{5} - \frac{2 e^{- 5 t}}{25}$$

Semplifica:

$$\int{2 t e^{- 5 t} d t} = \frac{2 \left(- 5 t - 1\right) e^{- 5 t}}{25}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{2 t e^{- 5 t} d t} = \frac{2 \left(- 5 t - 1\right) e^{- 5 t}}{25}+C$$

$$$\int 2 t e^{- 5 t}\, dt = \frac{2 \left(- 5 t - 1\right) e^{- 5 t}}{25} + C$$$A