Intégrale de $$$\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}}\, dx$$$.

Compléter le carré (voir les étapes ») : $$$- x^{2} + x = \frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}}} d x}}}$$

Soit $$$u=x - \frac{1}{2}$$$.

Alors $$$du=\left(x - \frac{1}{2}\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - u^{2}}} d u}}}$$

Soit $$$u=\frac{\sin{\left(v \right)}}{2}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{2}\right)^{\prime }dv = \frac{\cos{\left(v \right)}}{2} dv$$$ (les étapes peuvent être vues »).

De plus, il s'ensuit que $$$v=\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}$$$.

L’intégrande devient

$$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{\sin^{2}{\left( v \right)}}{4}}}$$$

Utilisez l'identité $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$ :

$$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{\sin^{2}{\left( v \right)}}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{2}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

En supposant que $$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$, nous obtenons ce qui suit :

$$$\frac{2}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{2}{\cos{\left( v \right)}}$$$

Donc,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\int{1 d v}}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dv = c v$$$ avec $$$c=1$$$:

$${\color{red}{\int{1 d v}}} = {\color{red}{v}}$$

Rappelons que $$$v=\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}$$$ :

$${\color{red}{v}} = {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=x - \frac{1}{2}$$$ :

$$\operatorname{asin}{\left(2 {\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{asin}{\left(2 {\color{red}{\left(x - \frac{1}{2}\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}} d x} = \operatorname{asin}{\left(2 x - 1 \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}} d x} = \operatorname{asin}{\left(2 x - 1 \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}}\, dx = \operatorname{asin}{\left(2 x - 1 \right)} + C$$$A