$$$\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}}\, dx$$$。

配平方（步骤见»）：$$$- x^{2} + x = \frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}}} d x}}}$$

设$$$u=x - \frac{1}{2}$$$。

则$$$du=\left(x - \frac{1}{2}\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = du$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - u^{2}}} d u}}}$$

设$$$u=\frac{\sin{\left(v \right)}}{2}$$$。

则$$$du=\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{2}\right)^{\prime }dv = \frac{\cos{\left(v \right)}}{2} dv$$$（步骤见»）。

此外，可得$$$v=\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}$$$。

所以，

$$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{\sin^{2}{\left( v \right)}}{4}}}$$$

利用恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{\sin^{2}{\left( v \right)}}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{2}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

假设$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$，我们得到如下结果：

$$$\frac{2}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{2}{\cos{\left( v \right)}}$$$

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\int{1 d v}}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dv = c v$$$，使用 $$$c=1$$$：

$${\color{red}{\int{1 d v}}} = {\color{red}{v}}$$

回忆一下 $$$v=\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}$$$:

$${\color{red}{v}} = {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}}}$$

回忆一下 $$$u=x - \frac{1}{2}$$$:

$$\operatorname{asin}{\left(2 {\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{asin}{\left(2 {\color{red}{\left(x - \frac{1}{2}\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}} d x} = \operatorname{asin}{\left(2 x - 1 \right)}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}} d x} = \operatorname{asin}{\left(2 x - 1 \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}}\, dx = \operatorname{asin}{\left(2 x - 1 \right)} + C$$$A