Intégrale de $$$- 2 \csc^{3}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)} - 1$$$

Déterminez $$$\int \left(- 2 \csc^{3}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)\, dx$$$.

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(- 2 \csc^{3}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} - \int{2 \csc^{3}{\left(x \right)} d x} + \int{\sec^{2}{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dx = c x$$$ avec $$$c=1$$$:

$$- \int{2 \csc^{3}{\left(x \right)} d x} + \int{\sec^{2}{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = - \int{2 \csc^{3}{\left(x \right)} d x} + \int{\sec^{2}{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{x}}$$

L’intégrale de $$$\sec^{2}{\left(x \right)}$$$ est $$$\int{\sec^{2}{\left(x \right)} d x} = \tan{\left(x \right)}$$$ :

$$- x - \int{2 \csc^{3}{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(x \right)} d x}}} = - x - \int{2 \csc^{3}{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \csc^{3}{\left(x \right)}$$$ :

$$- x + \tan{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{2 \csc^{3}{\left(x \right)} d x}}} = - x + \tan{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(2 \int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=\csc{\left(x \right)}$$$ et $$$\operatorname{dv}=\csc^{2}{\left(x \right)} dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(\csc{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{\csc^{2}{\left(x \right)} d x}=- \cot{\left(x \right)}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$\int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x}=\csc{\left(x \right)} \cdot \left(- \cot{\left(x \right)}\right)-\int{\left(- \cot{\left(x \right)}\right) \cdot \left(- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right) d x}=- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \int{\cot^{2}{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} d x}$$

Appliquez la formule $$$\cot^{2}{\left(x \right)} = \csc^{2}{\left(x \right)} - 1$$$ :

$$- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \int{\cot^{2}{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} d x}=- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \int{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \csc{\left(x \right)} d x}$$

Développer :

$$- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \int{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \csc{\left(x \right)} d x}=- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \int{\left(\csc^{3}{\left(x \right)} - \csc{\left(x \right)}\right)d x}$$

L’intégrale d’une différence est la différence des intégrales :

$$- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \int{\left(\csc^{3}{\left(x \right)} - \csc{\left(x \right)}\right)d x}=- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} + \int{\csc{\left(x \right)} d x} - \int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x}$$

Ainsi, nous obtenons l’équation linéaire simple suivante par rapport à l’intégrale :

$${\color{red}{\int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x}}}=- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} + \int{\csc{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x}}}$$

En le résolvant, on obtient que

$$\int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x}=- \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2} + \frac{\int{\csc{\left(x \right)} d x}}{2}$$

Par conséquent,

$$- x + \tan{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x}}} = - x + \tan{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\left(- \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2} + \frac{\int{\csc{\left(x \right)} d x}}{2}\right)}}$$

Réécrivez la cosécante sous la forme $$$\csc\left(x\right)=\frac{1}{\sin\left(x\right)}$$$:

$$- x + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\csc{\left(x \right)} d x}}} = - x + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} d x}}}$$

Réécrivez le sinus en utilisant la formule de l'angle double $$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$:

$$- x + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} d x}}} = - x + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

Multipliez le numérateur et le dénominateur par $$$\sec^2\left(\frac{x}{2} \right)$$$:

$$- x + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = - x + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

Soit $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} dx = 2 du$$$.

Ainsi,

$$- x + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = - x + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$- x + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - x + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ :

$$- x - \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} = - x - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}}\right| \right)} + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(- 2 \csc^{3}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)d x} = - x - \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)} + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(- 2 \csc^{3}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)d x} = - x - \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)} + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \left(- 2 \csc^{3}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)\, dx = \left(- x - \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right|\right) + \tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right) + C$$$A