Funktion $$$\frac{e^{- x}}{x}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{e^{- x}}{x}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=- x$$$.

Tällöin $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = - du$$$.

Siis,

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}$$

Tällä integraalilla (Eksponentti-integraali) ei ole suljettua muotoa:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

Muista, että $$$u=- x$$$:

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- x\right)}} \right)}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{e^{- x}}{x} d x} = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{e^{- x}}{x} d x} = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x}}{x}\, dx = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)} + C$$$A