Intégrale de $$$\frac{e^{- x}}{x}$$$

Déterminez $$$\int \frac{e^{- x}}{x}\, dx$$$.

Soit $$$u=- x$$$.

Alors $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - du$$$.

Ainsi,

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}$$

Cette intégrale (Intégrale exponentielle) n’admet pas de forme fermée :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=- x$$$ :

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- x\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{e^{- x}}{x} d x} = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{e^{- x}}{x} d x} = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x}}{x}\, dx = \operatorname{Ei}{\left(- x \right)} + C$$$A