Hyperbelin $$$- 9 x^{2} + 16 y^{2} = 144$$$ ominaisuudet

Määritä hyperbelin $$$- 9 x^{2} + 16 y^{2} = 144$$$ keskipiste, polttopisteet, kärjet, sivukärjet, suuren akselin pituus, puolisuuren akselin pituus, pienen akselin pituus, puolipienen akselin pituus, polttosivut, polttosivujen pituus (focal width), polttoparametri, eksentrisyys, lineaarinen eksentrisyys (polttopiste-etäisyys), johtosuorat, asymptootit, x-akselin leikkauspisteet, y-akselin leikkauspisteet, määrittelyjoukko ja arvojoukko.

Hyperbelin yhtälö on $$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$, missä $$$\left(h, k\right)$$$ on keskipiste ja $$$a$$$ ja $$$b$$$ ovat suuren ja pienen puoliakselin pituudet.

Hyperbelimme on tässä muodossa $$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{9} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{16} = 1$$$.

Siis, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 4$$$, $$$b = 3$$$.

Standardimuoto on $$$\frac{y^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{4^{2}} = 1$$$.

Huippumuoto on $$$\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{16} = 1$$$.

Yleinen muoto on $$$9 x^{2} - 16 y^{2} + 144 = 0$$$.

Lineaarinen eksentrisyys (polttopisteen etäisyys) on $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = 5$$$.

Eksentrisyys on $$$e = \frac{c}{b} = \frac{5}{3}$$$.

Ensimmäinen polttopiste on $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -5\right)$$$.

Toinen polttopiste on $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 5\right)$$$.

Ensimmäinen kärkipiste on $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -3\right)$$$.

Toinen kärkipiste on $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 3\right)$$$.

Ensimmäinen apukärkipiste on $$$\left(h - a, k\right) = \left(-4, 0\right)$$$.

Toinen apukärki on $$$\left(h + a, k\right) = \left(4, 0\right)$$$.

Suuren akselin pituus on $$$2 b = 6$$$.

Pieniakselin pituus on $$$2 a = 8$$$.

Fokaaliparametri on polttopisteen ja johtosuoran välinen etäisyys: $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{16}{5}$$$.

Latera recta ovat sivuakselin suuntaiset suorat, jotka kulkevat polttopisteiden kautta.

Ensimmäinen suoramitta on $$$y = -5$$$.

Toinen latus rectum on $$$y = 5$$$.

Ensimmäisen latus rectumin päätepisteet voidaan löytää ratkaisemalla yhtälöryhmän $$$\begin{cases} 9 x^{2} - 16 y^{2} + 144 = 0 \\ y = -5 \end{cases}$$$ (vaiheet: katso system of equations calculator).

Ensimmäisen latus rectumin päätepisteet ovat $$$\left(- \frac{16}{3}, -5\right)$$$, $$$\left(\frac{16}{3}, -5\right)$$$.

Toisen johtojänteen päätepisteet voidaan löytää ratkaisemalla järjestelmä $$$\begin{cases} 9 x^{2} - 16 y^{2} + 144 = 0 \\ y = 5 \end{cases}$$$ (vaiheista, katso yhtälöryhmälaskin).

Toisen latus rectumin päätepisteet ovat $$$\left(- \frac{16}{3}, 5\right)$$$, $$$\left(\frac{16}{3}, 5\right)$$$.

Latera recta -jänteiden pituus (fokaalileveys) on $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{32}{3}$$$.

Ensimmäinen johtosuora on $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{9}{5}$$$.

Toinen johtosuora on $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{9}{5}$$$.

Ensimmäinen asymptootti on $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{3 x}{4}$$$.

Toinen asymptootti on $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{3 x}{4}$$$.

x-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$y = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$x$$$:n suhteen (vaiheet: katso leikkauspisteiden laskin).

Koska reaalisia ratkaisuja ei ole, x-akselin leikkauspisteitä ei ole.

Y-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$x = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$y$$$:n suhteen: (vaiheittaiset ohjeet, ks. leikkauspisteiden laskin).

y-akselin leikkauspisteet: $$$\left(0, -3\right)$$$, $$$\left(0, 3\right)$$$

Standardimuoto/yhtälö: $$$\frac{y^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{4^{2}} = 1$$$A.

Huippumuoto/yhtälö: $$$\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{16} = 1$$$A.

Yleinen muoto/yhtälö: $$$9 x^{2} - 16 y^{2} + 144 = 0$$$A.

Ensimmäinen polttopiste-johtosuoraesitys/yhtälö: $$$x^{2} + \left(y + 5\right)^{2} = \frac{25 \left(y + \frac{9}{5}\right)^{2}}{9}$$$A.

Toinen polttopiste-johtosuora-muoto/yhtälö: $$$x^{2} + \left(y - 5\right)^{2} = \frac{25 \left(y - \frac{9}{5}\right)^{2}}{9}$$$A.

Kuvaaja: katso graphing calculator.

Keskipiste: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Ensimmäinen polttopiste: $$$\left(0, -5\right)$$$A.

Toinen polttopiste: $$$\left(0, 5\right)$$$A.

Ensimmäinen kärkipiste: $$$\left(0, -3\right)$$$A.

Toinen kärkipiste: $$$\left(0, 3\right)$$$A.

Ensimmäinen sivukärkipiste: $$$\left(-4, 0\right)$$$A.

Toinen sivukärkipiste: $$$\left(4, 0\right)$$$A.

Pääakselin (poikittaisakselin) pituus: $$$6$$$A.

Puolisuuren akselin pituus: $$$3$$$A.

Sivuakselin (konjugaattiakselin) pituus: $$$8$$$A.

Pienen puoliakselin pituus: $$$4$$$A.

Ensimmäinen latus rectum: $$$y = -5$$$A.

Toinen latus rectum: $$$y = 5$$$A.

Ensimmäisen johtojänteen päätepisteet: $$$\left(- \frac{16}{3}, -5\right)\approx \left(-5.333333333333333, -5\right)$$$, $$$\left(\frac{16}{3}, -5\right)\approx \left(5.333333333333333, -5\right)$$$A.

Toisen polttojanan päätepisteet: $$$\left(- \frac{16}{3}, 5\right)\approx \left(-5.333333333333333, 5\right)$$$, $$$\left(\frac{16}{3}, 5\right)\approx \left(5.333333333333333, 5\right)$$$A.

Latera recta -pituus (fokaalileveys): $$$\frac{32}{3}\approx 10.666666666666667$$$A.

Fokaaliparametri: $$$\frac{16}{5} = 3.2$$$A.

Eksentrisyys: $$$\frac{5}{3}\approx 1.666666666666667$$$A.

Lineaarinen eksentrisyys (fokaalietäisyys): $$$5$$$A.

Ensimmäinen johtosuora: $$$y = - \frac{9}{5} = -1.8$$$A.

Toinen johtosuora: $$$y = \frac{9}{5} = 1.8$$$A.

Ensimmäinen asymptootti: $$$y = - \frac{3 x}{4} = - 0.75 x$$$A.

Toinen asymptootti: $$$y = \frac{3 x}{4} = 0.75 x$$$A.

x-akselin leikkauspisteet: Ei x-akselin leikkauspisteitä.

y-akselin leikkauspisteet: $$$\left(0, -3\right)$$$, $$$\left(0, 3\right)$$$A.

Määrittelyjoukko: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Arvojoukko: $$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[3, \infty\right)$$$A.