Rechner für die Singulärwertzerlegung

Bestimme die Singulärwertzerlegung (SVD) von $$$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Bestimmen Sie die Transponierte der Matrix: $$$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$ (für die Schritte siehe Rechner für die Transponierte einer Matrix).

Multiplizieren Sie die Matrix mit ihrer Transponierten: $$$W = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$ (für die Schritte siehe Matrixmultiplikationsrechner).

Bestimme nun die Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$W$$$ (für die Schritte siehe Rechner für Eigenwerte und Eigenvektoren).

Eigenwert: $$$8$$$, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$.

Eigenwert: $$$2$$$, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$.

Eigenwert: $$$0$$$, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$.

Bestimmen Sie die Quadratwurzeln der von Null verschiedenen Eigenwerte ($$$\sigma_{i}$$$):

$$$\sigma_{1} = 2 \sqrt{2}$$$

$$$\sigma_{2} = \sqrt{2}$$$

Die Matrix $$$\Sigma$$$ ist eine Diagonalmatrix mit $$$\sigma_{i}$$$ auf ihrer Diagonale: $$$\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$.

Die Spalten der Matrix $$$U$$$ sind die normierten (Einheits-)Vektoren: $$$U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$ (Schritte zur Bestimmung eines Einheitsvektors siehe Einheitsvektor-Rechner).

Nun, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6}\end{array}\right]$$$ (für die Schritte siehe Rechner für die Skalarmultiplikation einer Matrix und Rechner für die Matrixmultiplikation).

$$$v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3}\\- \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{3}}{3}\\0\\\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}\right]$$$ (für die Schritte siehe Rechner für die Skalarmultiplikation einer Matrix und Rechner für die Matrixmultiplikation).

Da uns die von Null verschiedenen $$$\sigma_{i}$$$ ausgegangen sind und wir einen weiteren Vektor benötigen, bestimme den zu allen gefundenen Vektoren orthogonalen Vektor, indem du den Nullraum der Matrix bestimmst, deren Zeilen die gefundenen Vektoren sind: $$$\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}\\-1\\1\end{array}\right]$$$ (für die Schritte siehe Nullraumrechner).

Normiere den Vektor: Er wird zu $$$\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ (für die Schritte siehe Einheitsvektor-Rechner).

Daher $$$V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right].$$$

Die Matrizen $$$U$$$, $$$\Sigma$$$ und $$$V$$$ sind so gewählt, dass die ursprüngliche Matrix $$$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$.

$$$U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & 0.577350269189626 & -0.707106781186548\\0.816496580927726 & -0.577350269189626 & 0\\0.408248290463863 & 0.577350269189626 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}2.82842712474619 & 0 & 0\\0 & 1.414213562373095 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & -0.577350269189626 & 0.707106781186548\\0.866025403784439 & 0 & -0.5\\0.288675134594813 & 0.816496580927726 & 0.5\end{array}\right]$$$A