Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$.

Beginnen Sie damit, eine neue Matrix zu bilden, indem Sie $$$\lambda$$$ von den Diagonaleinträgen der gegebenen Matrix subtrahieren: $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Die Determinante der erhaltenen Matrix ist $$$- \lambda \left(\lambda - 8\right) \left(\lambda - 2\right)$$$ (für die Schritte siehe Determinantenrechner).

Löse die Gleichung $$$- \lambda \left(\lambda - 8\right) \left(\lambda - 2\right) = 0$$$.

Die Nullstellen sind $$$\lambda_{1} = 8$$$, $$$\lambda_{2} = 2$$$, $$$\lambda_{3} = 0$$$ (für die Schritte siehe Gleichungslöser).

Dies sind die Eigenwerte.

Als Nächstes die Eigenvektoren bestimmen.

• $$$\lambda = 8$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-6 & 2 & 2\\2 & -2 & 2\\2 & 2 & -6\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

• $$$\lambda = 2$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2\\2 & 4 & 2\\2 & 2 & 0\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

• $$$\lambda = 0$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

Eigenwert: $$$8$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$A.

Eigenwert: $$$2$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$A.

Eigenwert: $$$0$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$A.