No AI is used
  1. Startseite
  2. Rechner
  3. Rechner: Lineare Algebra
  4. Rechner für lineare Algebra

Matrixexponential-Rechner

Berechne das Matrixexponential Schritt für Schritt

Für die gegebene Matrix $$$A$$$ bestimmt der Rechner das Matrixexponential $$$e^A$$$ und zeigt die Schritte an.

Verwandter Rechner: Matrixpotenz-Rechner

A

Wenn der Rechner etwas nicht berechnet hat oder Sie einen Fehler festgestellt haben oder einen Vorschlag oder Feedback haben, bitte kontaktieren Sie uns.

Ihre Eingabe

Bestimme $$$e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]}$$$.

Lösung

Zuerst diagonalisieren Sie die Matrix (für die Schritte siehe Rechner zur Matrixdiagonalisierung).

$$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$

$$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$

Bestimme die Inverse von $$$P$$$: $$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$ (für die Schritte siehe Inverse-Matrix-Rechner).

Nun, $$$e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot e^{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right].$$$

Das Matrixexponential einer Diagonalmatrix ist eine Matrix, deren Diagonaleinträge exponentiert sind: $$$e^{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right].$$$

Somit gilt $$$e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right].$$$

Schließlich multiplizieren Sie die Matrizen:

$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 e & \frac{2}{e^{2}}\\e & e^{-2}\end{array}\right]$$$ (für die Schritte siehe Matrixmultiplikationsrechner).

$$$\left[\begin{array}{cc}5 e & \frac{2}{e^{2}}\\e & e^{-2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-2 + 5 e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{10 - 10 e^{3}}{3 e^{2}}\\\frac{-1 + e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{5 - 2 e^{3}}{3 e^{2}}\end{array}\right]$$$ (für die Schritte siehe Matrixmultiplikationsrechner).

Antwort

$$$e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}\frac{-2 + 5 e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{10 - 10 e^{3}}{3 e^{2}}\\\frac{-1 + e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{5 - 2 e^{3}}{3 e^{2}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}4.440246191940667 & -8.609821817408108\\0.860982181740811 & -1.586629080245009\end{array}\right]$$$A