Diagonalisiere $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$

Diagonalisiere $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$.

Bestimmen Sie zuerst die Eigenwerte und Eigenvektoren (für die Schritte siehe eigenvalues and eigenvectors calculator).

Eigenwert: $$$1$$$, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$$$.

Eigenwert: $$$-2$$$, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$$$.

Bilden Sie die Matrix $$$P$$$, deren Spalte $$$i$$$ der Eigenvektor Nr. $$$i$$$ ist: $$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$.

Bilde die Diagonalmatrix $$$D$$$, deren Element in Zeile $$$i$$$, Spalte $$$i$$$ der Eigenwert Nr. $$$i$$$ ist: $$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$.

Die Matrizen $$$P$$$ und $$$D$$$ sind so gewählt, dass die Ausgangsmatrix $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$.

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$ (für die Schritte siehe Inverse-Matrix-Rechner).

$$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right]$$$A