Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$.

Beginnen Sie damit, eine neue Matrix zu bilden, indem Sie $$$\lambda$$$ von den Diagonaleinträgen der gegebenen Matrix subtrahieren: $$$\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right]$$$.

Die Determinante der erhaltenen Matrix ist $$$\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right)$$$ (für die Schritte siehe Determinantenrechner).

Löse die Gleichung $$$\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right) = 0$$$.

Die Nullstellen sind $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = -2$$$ (für die Schritte siehe Gleichungslöser).

Dies sind die Eigenwerte.

Als Nächstes die Eigenvektoren bestimmen.

• $$$\lambda = 1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -10\\1 & -5\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

• $$$\lambda = -2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 & -10\\1 & -2\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

Eigenwert: $$$1$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$$$A.

Eigenwert: $$$-2$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$$$A.