Umkehrfunktion von $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$

Berechnen Sie $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$$$ mithilfe des Gauß-Jordan-Verfahrens.

Um die inverse Matrix zu finden, erweitern Sie sie um die Einheitsmatrix und führen Sie elementare Zeilenoperationen durch, um links die Einheitsmatrix zu erhalten. Rechts befindet sich dann die inverse Matrix.

Also erweitere die Matrix um die Einheitsmatrix:

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Teile Zeile $$$1$$$ durch $$$5$$$: $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Subtrahiere Zeile $$$1$$$ von Zeile $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$

Multipliziere Zeile $$$2$$$ mit $$$\frac{5}{3}$$$: $$$R_{2} = \frac{5 R_{2}}{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$

Ziehe die mit $$$\frac{2}{5}$$$ multiplizierte Zeile $$$2$$$ von Zeile $$$1$$$ ab: $$$R_{1} = R_{1} - \frac{2 R_{2}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$

Wir sind fertig. Links steht die Einheitsmatrix. Rechts steht die inverse Matrix.

Die inverse Matrix ist $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right].$$$A