Integral von $$$\frac{x}{y}$$$ nach $$$x$$$

Bestimme $$$\int \frac{x}{y}\, dx$$$.

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=\frac{1}{y}$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{x}{y} d x}}} = {\color{red}{\frac{\int{x d x}}{y}}}$$

Wenden Sie die Potenzregel $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ mit $$$n=1$$$ an:

$$\frac{{\color{red}{\int{x d x}}}}{y}=\frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{y}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}}{y}$$

Daher,

$$\int{\frac{x}{y} d x} = \frac{x^{2}}{2 y}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{x}{y} d x} = \frac{x^{2}}{2 y}+C$$

$$$\int \frac{x}{y}\, dx = \frac{x^{2}}{2 y} + C$$$A