Tangente an $$$y = x^{3} - 3 x + 2$$$ im Punkt $$$x = 2$$$

Berechne die Tangente an $$$y = x^{3} - 3 x + 2$$$ im Punkt $$$x = 2$$$.

Gegeben sind $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 3 x + 2$$$ und $$$x_{0} = 2$$$.

Finden Sie den Funktionswert am gegebenen Punkt: $$$y_{0} = f{\left(2 \right)} = 4$$$.

Die Steigung der Tangente an der Stelle $$$x = x_{0}$$$ ist die Ableitung der Funktion, ausgewertet an der Stelle $$$x = x_{0}$$$: $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right)$$$.

Bestimme die Ableitung: $$$f^{\prime }\left(x\right) = \left(x^{3} - 3 x + 2\right)^{\prime } = 3 x^{2} - 3$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Somit gilt $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right) = 3 x_{0}^{2} - 3$$$.

Bestimme als Nächstes die Steigung am gegebenen Punkt.

$$$m = M{\left(2 \right)} = 9$$$

Schließlich lautet die Gleichung der Tangente $$$y - y_{0} = m \left(x - x_{0}\right)$$$.

Durch Einsetzen der gefundenen Werte erhalten wir $$$y - 4 = 9 \left(x - 2\right)$$$.

Oder einfacher: $$$y = 9 x - 14$$$.

Die Gleichung der Tangente lautet $$$y = 9 x - 14$$$A.