Tangente an $$$y = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ im Punkt $$$x = 34 \pi$$$

Berechne die Tangente an $$$y = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ im Punkt $$$x = 34 \pi$$$.

Gegeben sind $$$f{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ und $$$x_{0} = 34 \pi$$$.

Finden Sie den Funktionswert am gegebenen Punkt: $$$y_{0} = f{\left(34 \pi \right)} = 0$$$.

Die Steigung der Tangente an der Stelle $$$x = x_{0}$$$ ist die Ableitung der Funktion, ausgewertet an der Stelle $$$x = x_{0}$$$: $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right)$$$.

Bestimme die Ableitung: $$$f^{\prime }\left(x\right) = \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)^{\prime } = - 2 \cos{\left(x \right)}$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Somit gilt $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right) = - 2 \cos{\left(x_{0} \right)}$$$.

Bestimme als Nächstes die Steigung am gegebenen Punkt.

$$$m = M{\left(34 \pi \right)} = -2$$$

Schließlich lautet die Gleichung der Tangente $$$y - y_{0} = m \left(x - x_{0}\right)$$$.

Durch Einsetzen der gefundenen Werte erhalten wir $$$y - 0 = - 2 \left(x - 34 \pi\right)$$$.

Oder einfacher: $$$y = - 2 x + 68 \pi$$$.

Die Gleichung der Tangente lautet $$$y = - 2 x + 68 \pi\approx 213.62830044410594 - 2 x$$$A.