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Zweite Ableitung von $$$a^{x}$$$ nach $$$x$$$
Ähnliche Rechner: Ableitungsrechner, Rechner für logarithmische Differentiation
Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(a^{x}\right)$$$.
Lösung
Bestimme die erste Ableitung $$$\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right)$$$
Wende das Potenzgesetz $$$\frac{d}{dx} \left(n^{x}\right) = n^{x} \ln\left(n\right)$$$ mit $$$n = a$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(a^{x} \ln\left(a\right)\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right) = a^{x} \ln\left(a\right)$$$.
Als Nächstes, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(a^{x}\right) = \frac{d}{dx} \left(a^{x} \ln\left(a\right)\right)$$$
Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = \ln\left(a\right)$$$ und $$$f{\left(x \right)} = a^{x}$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x} \ln\left(a\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\ln\left(a\right) \frac{d}{dx} \left(a^{x}\right)\right)}$$Wende das Potenzgesetz $$$\frac{d}{dx} \left(n^{x}\right) = n^{x} \ln\left(n\right)$$$ mit $$$n = a$$$ an:
$$\ln\left(a\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right)\right)} = \ln\left(a\right) {\color{red}\left(a^{x} \ln\left(a\right)\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(a^{x} \ln\left(a\right)\right) = a^{x} \ln^{2}\left(a\right)$$$.
Daher $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(a^{x}\right) = a^{x} \ln^{2}\left(a\right)$$$.
Antwort
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(a^{x}\right) = a^{x} \ln^{2}\left(a\right)$$$A