|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$a^{x}$$$'nin $$$x$$$'e göre ikinci türevi
İlgili hesaplayıcılar: Türev Hesaplayıcı, Logaritmik Türev Hesaplayıcı
Girdiniz
Bulun: $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(a^{x}\right)$$$.
Çözüm
Birinci türevi bulun $$$\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right)$$$
$$$\frac{d}{dx} \left(n^{x}\right) = n^{x} \ln\left(n\right)$$$ üs kuralını $$$n = a$$$ kullanarak uygula:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(a^{x} \ln\left(a\right)\right)}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right) = a^{x} \ln\left(a\right)$$$.
Ardından, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(a^{x}\right) = \frac{d}{dx} \left(a^{x} \ln\left(a\right)\right)$$$
Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = \ln\left(a\right)$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = a^{x}$$$ ile uygula:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x} \ln\left(a\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\ln\left(a\right) \frac{d}{dx} \left(a^{x}\right)\right)}$$$$$\frac{d}{dx} \left(n^{x}\right) = n^{x} \ln\left(n\right)$$$ üs kuralını $$$n = a$$$ kullanarak uygula:
$$\ln\left(a\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right)\right)} = \ln\left(a\right) {\color{red}\left(a^{x} \ln\left(a\right)\right)}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(a^{x} \ln\left(a\right)\right) = a^{x} \ln^{2}\left(a\right)$$$.
Dolayısıyla, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(a^{x}\right) = a^{x} \ln^{2}\left(a\right)$$$.
Cevap
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(a^{x}\right) = a^{x} \ln^{2}\left(a\right)$$$A