Eigenschaften der Parabel $$$y^{2} = - 3 x$$$

Bestimme den Scheitelpunkt, den Brennpunkt, die Direktrix, die Symmetrieachse, das Latus rectum, die Länge des Latus rectum (Fokalbreite), den Fokalparameter, die Brennweite, die Exzentrizität, die x-Achsenabschnitte, die y-Achsenabschnitte, den Definitionsbereich und den Wertebereich der Parabel $$$y^{2} = - 3 x$$$.

Die Gleichung einer Parabel lautet $$$x = \frac{1}{4 \left(f - h\right)} \left(y - k\right)^{2} + h$$$, wobei $$$\left(h, k\right)$$$ der Scheitelpunkt und $$$\left(f, k\right)$$$ der Brennpunkt sind.

Unsere Parabel hat in dieser Form die Gleichung $$$x = \frac{1}{4 \left(- \frac{3}{4} - 0\right)} \left(y - 0\right)^{2} + 0$$$.

Somit gilt $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$f = - \frac{3}{4}$$$.

Die Normalform lautet $$$x = - \frac{y^{2}}{3}$$$.

Die allgemeine Form ist $$$3 x + y^{2} = 0$$$.

Die Scheitelpunktform ist $$$x = - \frac{y^{2}}{3}$$$.

Die Direktrix ist $$$x = d$$$.

Um $$$d$$$ zu finden, verwenden Sie die Tatsache, dass der Abstand vom Brennpunkt zum Scheitelpunkt gleich dem Abstand vom Scheitelpunkt zur Leitlinie ist: $$$0 - \left(- \frac{3}{4}\right) = d - 0$$$.

Somit ist die Leitgerade $$$x = \frac{3}{4}$$$.

Die Symmetrieachse ist die zur Leitlinie senkrechte Gerade, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft: $$$y = 0$$$.

Die Brennweite ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt und dem Scheitelpunkt: $$$\frac{3}{4}$$$.

Der Brennparameter ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie: $$$\frac{3}{2}$$$.

Das Latus rectum ist zur Leitlinie parallel und verläuft durch den Brennpunkt: $$$x = - \frac{3}{4}$$$.

Die Endpunkte des Latus rectum können durch Lösen des Systems $$$\begin{cases} 3 x + y^{2} = 0 \\ x = - \frac{3}{4} \end{cases}$$$ gefunden werden (für die Schritte siehe Gleichungssystem-Rechner).

Die Endpunkte des Latus rectums sind $$$\left(- \frac{3}{4}, - \frac{3}{2}\right)$$$, $$$\left(- \frac{3}{4}, \frac{3}{2}\right)$$$.

Die Länge des Latus rectum (Fokalbreite) beträgt das Vierfache des Abstands zwischen Scheitel und Brennpunkt: $$$3$$$.

Die Exzentrizität einer Parabel ist immer $$$1$$$.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse lassen sich finden, indem man $$$y = 0$$$ in die Gleichung einsetzt und nach $$$x$$$ auflöst (für die Schritte siehe Achsenabschnitt-Rechner).

x-Achsenabschnitt: $$$\left(0, 0\right)$$$.

Die y-Achsenabschnitte findet man, indem man $$$x = 0$$$ in die Gleichung einsetzt und nach $$$y$$$ auflöst: (für die Schritte siehe Achsenabschnittsrechner).

y-Achsenabschnitt: $$$\left(0, 0\right)$$$.

Standardform/Gleichung: $$$x = - \frac{y^{2}}{3}$$$A.

Allgemeine Form/Gleichung: $$$3 x + y^{2} = 0$$$A.

Scheitelpunktform/-gleichung: $$$x = - \frac{y^{2}}{3}$$$A.

Brennpunkt-Leitgerade-Form/Gleichung: $$$y^{2} + \left(x + \frac{3}{4}\right)^{2} = \left(x - \frac{3}{4}\right)^{2}$$$A.

Achsenabschnittsform/-gleichung: $$$x = - \frac{y^{2}}{3}$$$A.

Graph: Siehe den Grafikrechner.

Scheitelpunkt: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Brennpunkt: $$$\left(- \frac{3}{4}, 0\right) = \left(-0.75, 0\right)$$$A.

Leitlinie: $$$x = \frac{3}{4} = 0.75$$$A.

Symmetrieachse: $$$y = 0$$$A.

Latus rectum: $$$x = - \frac{3}{4} = -0.75$$$A.

Endpunkte des Latus rectums: $$$\left(- \frac{3}{4}, - \frac{3}{2}\right) = \left(-0.75, -1.5\right)$$$, $$$\left(- \frac{3}{4}, \frac{3}{2}\right) = \left(-0.75, 1.5\right)$$$A.

Länge der Leitstrecke (Fokalbreite): $$$3$$$A.

Leitparameter: $$$\frac{3}{2} = 1.5$$$A.

Brennweite: $$$\frac{3}{4} = 0.75$$$A.

Exzentrizität: $$$1$$$A.

x-Achsenabschnitt: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

y-Achsenabschnitt: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Definitionsbereich: $$$\left(-\infty, 0\right]$$$A.

Wertebereich: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.