Eigenschaften der Hyperbel $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$

Bestimme den Mittelpunkt, die Brennpunkte, die Scheitelpunkte, die Nebenscheitelpunkte, die Länge der Transversalachse, die Länge der halben Transversalachse, die Länge der konjugierten Achse, die Länge der halben konjugierten Achse, die Latera recta, die Länge der Latera recta (Fokalbreite), den Brennparameter, die Exzentrizität, die lineare Exzentrizität (Brennpunktabstand), die Leitlinien, die Asymptoten, die x-Achsenschnittpunkte, die y-Achsenschnittpunkte, den Definitionsbereich und den Wertebereich der Hyperbel $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$.

Die Gleichung einer Hyperbel lautet $$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$, wobei $$$\left(h, k\right)$$$ das Zentrum ist, $$$a$$$ und $$$b$$$ die Längen der großen und der kleinen Halbachse sind.

Unsere Hyperbel in dieser Form lautet $$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{4} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} = 1$$$.

Somit gilt $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 2$$$.

Die Normalform lautet $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$.

Die Scheitelpunktform ist $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$.

Die allgemeine Form ist $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$.

Die lineare Exzentrizität (Abstand zum Brennpunkt) ist $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = \sqrt{13}$$$.

Die Exzentrizität ist $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{13}}{2}$$$.

Der erste Brennpunkt ist $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, - \sqrt{13}\right)$$$.

Der zweite Brennpunkt ist $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, \sqrt{13}\right)$$$.

Der erste Eckpunkt ist $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -2\right)$$$.

Der zweite Scheitelpunkt ist $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right)$$$.

Der erste Nebenscheitelpunkt ist $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.

Der zweite Nebenscheitelpunkt ist $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.

Die Länge der Hauptachse beträgt $$$2 b = 4$$$.

Die Länge der Nebenachse beträgt $$$2 a = 6$$$.

Der Brennparameter ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie: $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{13}}{13}$$$.

Die latera recta sind die Geraden, die parallel zur Nebenachse verlaufen und durch die Brennpunkte gehen.

Das erste Latus rectum ist $$$y = - \sqrt{13}$$$.

Die zweite Leitstrecke ist $$$y = \sqrt{13}$$$.

Die Endpunkte des ersten Latus rectum können durch Lösen des Systems $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = - \sqrt{13} \end{cases}$$$ ermittelt werden (für die Schritte siehe Gleichungssystem-Rechner).

Die Endpunkte des ersten Latus rectum sind $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$.

Die Endpunkte des zweiten latus rectum lassen sich durch Lösen des Systems $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = \sqrt{13} \end{cases}$$$ bestimmen (für die Schritte siehe Gleichungssystem-Rechner).

Die Endpunkte des zweiten Latus rectums sind $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$.

Die Länge der latera recta (Fokalbreite) beträgt $$$\frac{2 a^{2}}{b} = 9$$$.

Die erste Leitlinie ist $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.

Die zweite Leitlinie ist $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.

Die erste Asymptote ist $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{2 x}{3}$$$.

Die zweite Asymptote ist $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{2 x}{3}$$$.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse lassen sich finden, indem man $$$y = 0$$$ in die Gleichung einsetzt und nach $$$x$$$ auflöst (für die Schritte siehe Achsenabschnitt-Rechner).

Da es keine reellen Lösungen gibt, gibt es keine x-Achsenabschnitte.

Die y-Achsenabschnitte findet man, indem man $$$x = 0$$$ in die Gleichung einsetzt und nach $$$y$$$ auflöst: (für die Schritte siehe Achsenabschnittsrechner).

y-Achsenabschnitte: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$

Standardform/Gleichung: $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.

Scheitelpunktform/-gleichung: $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$A.

Allgemeine Form/Gleichung: $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$A.

Erste Brennpunkt-Leitlinie-Form/Gleichung: $$$x^{2} + \left(y + \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y + \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.

Zweite Brennpunkt-Leitlinien-Form/Gleichung: $$$x^{2} + \left(y - \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.

Graph: Siehe den Grafikrechner.

Mittelpunkt: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Erster Brennpunkt: $$$\left(0, - \sqrt{13}\right)\approx \left(0, -3.605551275463989\right)$$$A.

Zweiter Brennpunkt: $$$\left(0, \sqrt{13}\right)\approx \left(0, 3.605551275463989\right)$$$A.

Erster Eckpunkt: $$$\left(0, -2\right)$$$A.

Zweiter Scheitelpunkt: $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Erster Nebenscheitelpunkt: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

Zweiter Nebenscheitelpunkt: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

Länge der großen (transversalen) Achse: $$$4$$$A.

Länge der großen Halbachse: $$$2$$$A.

Länge der Nebenachse (konjugierten Achse): $$$6$$$A.

Länge der kleinen Halbachse: $$$3$$$A.

Erstes Latus rectum: $$$y = - \sqrt{13}\approx -3.605551275463989$$$A.

Zweites Latus rectum: $$$y = \sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.

Endpunkte des ersten Latus rectums: $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, -3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, -3.605551275463989\right)$$$A.

Endpunkte der zweiten Leitbreite: $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, 3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, 3.605551275463989\right)$$$A.

Länge der latera recta (Leitbreite): $$$9$$$A.

Leitparameter: $$$\frac{9 \sqrt{13}}{13}\approx 2.496150883013531$$$A.

Exzentrizität: $$$\frac{\sqrt{13}}{2}\approx 1.802775637731995$$$A.

Lineare Exzentrizität (Fokalabstand): $$$\sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.

Erste Leitlinie: $$$y = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx -1.109400392450458$$$A.

Zweite Direktrix: $$$y = \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx 1.109400392450458$$$A.

Erste Asymptote: $$$y = - \frac{2 x}{3}\approx - 0.666666666666667 x$$$A.

Zweite Asymptote: $$$y = \frac{2 x}{3}\approx 0.666666666666667 x$$$A.

x-Achsenschnittpunkte: Keine Schnittpunkte mit der x-Achse.

y-Achsenabschnitte: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Definitionsbereich: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Wertebereich: $$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)$$$A.