$$$e^{- t}$$$ 的積分

求$$$\int e^{- t}\, dt$$$。

令 $$$u=- t$$$。

則 $$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = - du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- t$$$：

$$- e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{- t} d t} = - e^{- t}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- t} d t} = - e^{- t}+C$$

$$$\int e^{- t}\, dt = - e^{- t} + C$$$A