Integralen av $$$e^{- t}$$$

Bestäm $$$\int e^{- t}\, dt$$$.

Låt $$$u=- t$$$ vara.

Då $$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dt = - du$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=-1$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=- t$$$:

$$- e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$

Alltså,

$$\int{e^{- t} d t} = - e^{- t}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{- t} d t} = - e^{- t}+C$$

$$$\int e^{- t}\, dt = - e^{- t} + C$$$A